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\section{Modelo XY \label{sec:xy}}
O modelo XY pode ser visto como um modelo de Heisenberg com uma forte anisotropia de plano fácil, sendo seu hamiltoniano de interação dado pela equação 
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\begin{equation}
\label{eq:hamiltonianoxyg} 
H =  - J\sum\limits_{\left\langle {i,j}\right\rangle} {\left( {{{S}}_i^x {{S}}_j^x  + {{S}}_i^y {{S}}_j^y } \right)}  ,  
\end{equation}
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onde  $ {S}_i^{ \alpha}$, com $ \alpha=x,y,z$, são as componentes do operador de spin, os índices $i$ e $j$ representam os sítios ou vértices da rede, $J$ é a constante de interação de troca que possui dimensão de energia, e o somatório é executado sobre todos os pares de vizinhos mais próximos da rede. Para o caso particular de spin-$1/2$, as componentes ${S}_i^{\alpha}$ são dadas pelas matrizes de Pauli e obtem-se, nesse caso, um dos modelos quânticos de muitos corpos mais simples. Como o parâmetro de ordem desse modelo não comuta com o hamiltoniano, este apresenta propriedades quânticas completas e uma dependência temporal
intrinsíca, o que não acontece no modelo de Ising.

O modelo XY de spin-$1/2$ foi introduzido por Matsubara e Matsuda \cite{matsubara1956lattice} como um modelo de rede para o H\'elio líquido [\heq], considerando um potencial molecular do tipo ``caroço duro''.  Neste caso, apenas para completeza, apresentamos abaixo o Hamiltoniano que se reduz a forma
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\begin{equation}
\label{eq:hamiltonianohe4}
H_0  =  - J\sum\limits_{\left\langle {ij} \right\rangle } {\left( {a_i^\dag  a_j  + a_i a_j^\dag  } \right)}, 
\end{equation}
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onde  ${a}_i={{S}}_i^x - i{{S}}_i^y$ e ${a}^\dag_i={{S}}_i^x + i{{S}}_i^y$ são as matrizes de criação e aniquilação de bósons, respectivamente, e  $J = \hbar ^2 d/4mqa^2 $, sendo  $d$ a dimensionalidade da rede, $m$ a massa molecular, $q$ o número de coordenação, e $a$ a distância entre  vizinhos mais próximos. Matsubara e Matsuda mostraram tamb\'em que mesmo usando aproximação de campo molecular, o modelo XY é mais eficiente, em muitos aspectos, que o emprego do gás ideal de Bose na previsão das propriedades da transição de fase  superfluido-líquido normal do \heq .

O modelo XY também é um modelo razoável para descrever uma classe de materiais magnéticos \cite{Betts1968,betts1977critical,reeve1976magnetically} , geralmente compostos isolantes, ferromagnéticos ou antiferromagné\-ticos, de íons Terras Raras de elevado momento angular total (neste contexto chamados simplesmente de "spin"). Exemplos de íons e seus correspondentes spins incluem Gd$^{3+}$  (7/2), Dy$^{3 +}$  (15/2), Er $^{3 +}$ (15/2).

Quando o sistema é composto por spins com elevados números quânticos (maiores que $5/2$, por exemplo) pode-se fazer uma aproximação clássica supondo que o spin tenda a infinito na Equação (\ref{eq:hamiltonianoxyg}), podendo-se ent\~ao  desconsiderar o princípio da incerteza, ou seja, supõe-se conhecer as três componentes de spin simultaneamente. Acrescentando-se uma anisotropia da forma  $ D \sum\limits_i{\left( {{\mathbf{S}}_i^z } \right)^2}$, e tomando-se $D$ muito grande e positivo, obtém-se o Hamiltoniano do modelo chamado  rotor planar, pois os estados nos quais os spins estão numa direção muito próximos ao plano XY são altamente favorecidos. 

O operador natural do parâmetro de ordem do modelo XY é a magnetização no plano
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\begin{equation}
\label{eq:m}
\mathbf{M} ={M}^x {\bf i} + {M}^y{\bf j}~,
\end{equation} 
onde 
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\begin{equation}
\label{eq:mxy}
{M}^x  = \sum\limits_i {{S}_i^x }~, ~ ~ {M}^y  = \sum\limits_i {{S}_i^y }~.
\end{equation}
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Numa rede tridimensional, o modelo XY, assim como o modelo de Ising e de Heisenberg, apresenta uma transição de fase cr\'{\i}tica numa temperatura finita. Em duas dimensões espaciais, no entanto, o teorema de Mermin-Wagner \cite{Mermin1966} mostra que simetrias contínuas não podem ser quebradas espontaneamente em nenhuma temperatura finita.  Dessa forma, diferentemente do modelo Ising que apresenta ordem de longo alcance, o modelo XY em redes bidimensionais tem seu parâmetro de ordem nulo para qualquer temperatura finita. No entanto, em duas dimensões, o modelo apresenta uma transição de fase de ordem infinita do tipo Berezinskii- Kosterlitz-Thouless (BKT). 


